جبر: (algebra)
در لغت جبر مقابل کلمه اختیار است و به معنی ناچار کردن می باشد. جبر و مقابله قسمتی از ریاضیات است که در آن برای حل مجهولات حروف و علامات را به جای اعداد به کار می برند.
عبارت جبری: (algebra expression)
عبارتی که شامل یک یا چند جمله جبری باشد مانند :
یک جمله ای جبری: (algebra monomial)
در حالت کلی یک جمله ای بر حسب x به صورت axn نوشته می شود که در آن a ضریب عددی و x متغیر حرفی و n عدد صحیح نامنفی است . مانند:
پیدا کردن مقدار یک عبارت جبری:
به عبارت جبری 
توجه کنید. اگر در این عبارت به جای a ، عدد 5 قرار دهیم، حاصل عبارت چقدر می شود؟
حل: حاصل برابر 35 می شود، چون : 35= 5- (5) ×3+52
عدد 35 مقدار عددی عبارت جبری بازای 5=a می باشد.
ساده کردن یک عبارت جبری:
دو تک جمله ای که قسمت حرفی آن ها عینا مثل هم باشد، متشابه نامیده می شوند. مثلا دو تک جمله 5xy و 2xy- متشابه اند. 7a۲ و a۲- نیز متشابه اند، ولی x۲ و xy متشابه نیستند. برای ساده کردن یک عبارت جبری، جمله های متشابه را با هم جمع یا تفریق می کنیم.
اشکال هندسی و عبارت جبری:
شکل های هندسی دارای ویژگی های زیادی هستند. مثلث را در نظر بگیرید دریایی از خصوصیت های زیبا می باشد ، ویژگی های نهفته در این شکل یکی پس از دیگری موج می زنند و به سمت ما حرکت می کنند.
دایره، چهار ضلعی ها، چند ضلعی های منتظم ، ... در این دریا غوطه ورند.
ویژگی های هر یک از شکل های هندسی را با عبارت جبری می توان بیان کرد به عنوان مثال مساحت هر یک از شکل های زیر را با یک عبارت جبری بیان می کنیم.
توزیع پذیری ضرب نسبت به جمع و تفریق
خاصیت توزیع پذیری یا پخشی یکی از خاصیت های ضرب است.
مردم برای خرید و فروش و محاسبه قیمت اجناس از این خاصیت زیبا فراوان استفاده می کنند.
به مثال های زیر دقت کنید:
این خاصیت برای جملات جبری نیز برقرار است. یعنی اگر A و B و C چند جمله ای جبری باشند داریم:
|
A ×(B+C)= (A×B) + (A×C)F |
به شکل های زیر توجه کنید. با توجه به اینکه هر دو شکل برابرند و در سمت راست مستطیل به دو قسمت تقسیم شده است، می توان نتیجه گرفت: مساحتهای این دو شکل با هم برابر است و تساوی زیر را نوشت.
این تساوی توزیع پذیری ضرب را نسبت به جمع (تفریق) نشان می دهد.
ضرب دو چند جمله ای: برای بدست آوردن حاصل این ضرب با توجه به خاصیت توزیع پذیری عمل ضرب نسبت به جمع و تفریق می توان به صورت زیر عمل کرد:
با توجه به شکل می توان گفت: شکل (1) در سمت چپ و شکل (2) در سمت راست با هم برابر هستند و در شکل (2) مربع به چهار قسمت تقسیم شده است. می توان نتیجه گرفت مساحتهای این دو شکل برابر است و تساوی زیر را نوشت:
اتحاد ها: تساوی های جبری هستند که به ازای تمام مقادیر حقیقی درست می باشند. برای آسان شدن محاسبه از اتحاد ها کمک می گیرند. با کاربرد بیشتر اتحاد ها در دوره دبیرستان آشنا خواهید شد.
اتحاد اول:
اتحاد دوم:
اتحاد سوم: ( اتحاد مزدوج)
اتحاد چهارم: ( اتحاد جمله مشترک)
مثال:
تقسیم عبارتهای جبری:
برای تقسیم چند جمله ای بر یک حمله ای کافی است که تک تک جملات چند جمله ای را بر یک جمله ای تقسیم کنیم. برای محاسبه حاصل تقسیم ضرایب عدی بر هم تقسیم می شوند و قسمتهای حروفی نیز در صورت امکان با هم ساده خواهند شد.
مثال:
فاکتور گیری:
عبارت ab+ac را در نظر بگیرید. اگر این عبارت جبری را به صورت a(b+c)d بنویسیم، به طوریکه a قسمت مشترک دو عبارت را تشکیل می دهد، اصطلاحا می گوییم از a فاکتور گرفته ایم. فاکتورگیری یکی از روشهای تبدیل یک عبارت جبری به صورت حاصل ضرب می باشد.
نکته: برای بدست آوردن قسمت غیر مشترک از تقسیم کمک بگیرید.
مثال: عبارت 3a۲ت+ 6ab را به صورت ضرب دو عبارت جبری بنویسید.
حل:
|
در این قسمت به روش زیر عمل می کنیم: عبارتی جبری به شما نشان داده می شود. با دقت به عملیات انجام شده و تجزیه و تحلیل آن نظر خود را در مورد درستی یا نادرستی محاسبات بیان کنید. سپس روی قسمت «نتیجه» کلیک کنید تا جواب درست را مشاهده کنید. انشاء الله علاوه بر یادگیری نکات مربوط به این قسمت باعث گسترش مهارتهای شما نیز باشد. í درستی یا نادرستی هر یک از نکته های بیان شده در یک کادر را ، با ذکر دلیل بیان کنید.
1-
نتیجه: تساوی بالا درست است و توزیع پذیری عمل ضرب نسبت به جمع را نشان می دهد.
2-
نتیجه: تساوی بالا درست است و توزیع پذیری عمل ضرب نسبت به تفریق را نشان می دهد.
3-
نتیجه: تساوی بالا نادرست می باشد.
4-
نتیجه: تساوی بالا نادرست می باشد.
5-
نتیجه: این عبارت درست است؛ به یاد داشته باشید که توان از ضرب بوجود می آید.
6-
نتیجه: تساوی بالا درست است و نشان می دهد منفی پشت پرانتز تمام عبارتهای داخل پرانتز را قرینه می کند.
7-
نتیجه: تساوی بالا نادرست می باشد.
8-
نتیجه: تساوی بالا درست است و نشان می دهد منفی در پشت کسر تمام عبارتهای صورت کسر را قرینه می کند.
9-
نتیجه: عبارت بالا درست است و نشان می دهد عمل ضرب نسبت به عمل جمع در محاسبات اولویت دارد.
10-
نتیجه: این تساوی نادرست می باشد.
11-
نتیجه: این تساوی درست است و اتحاد اول نام دارد.
12-
نتیجه: این تساوی درست است و نشان می دهد که a-b و b-a قرینه همدیگر هستند.
13-
نتیجه: این عبارت نادرست می باشد.، چون اگر ◦=x باشد،
14-
نتیجه: این عبارت درست است و می توان xها را ساده کرد. به طور کلی برای انجام عمل تقسیم مخرج کسر باید مخالف صفر باشد.
15-
نتیجه: این تساوی درست است و اتجاد مزدوج را نشان می دهد.
16-
نتیجه: این عبارت درست است و نشان می دهد اگر جمع دو عدد مثبت مساوی صفر باشد، حتما هر دوی آن ها صفر هستند.
17-
نتیجه: این تساوی نادرست می باشد.
عبارت درست به صورت زیر می باشد:
18-
نتیجه: این عبارت نادرست می باشد. مثال: اگر 5-=x ، آنگاه :
19-
نتیجه: این عبارت نادرست می باشد. مثال: اگر 3=x باشد ، آنگاه
20-
نتیجه: این عبارت درست می باشد و نشان می دهد اگر دو طرف یک نامساوی را در یک عدد مثبت ضرب کنیم جهت نامساوی عوض نمی شود.
21-
نتیجه: این عبارت نادرست می باشد و نشان می دهد اگر دو طرف نامساوی را در یک عدد منفی ضرب کنیم جهت نامساوی عوض می شود. مثال:(5)(2-) > (3)(2-) a و 5>3 10- > 6- و این یک عبارت نادرست است. ( می دانیم 10- < 6-)
مثال 1: با توجه به تساوی های زیر ثابت می کنیم 1=2 می باشد. اشکال کار در کجاست؟
حل: اشکال کار در قسمت تقسیم می باشد. چون a=b پس a-b=0 و مخرج کسر برابر صفر است. و تقسیم بر صفر مبهم و نا مشخص است. به طور کلی: برای انجام عمل تقسیم مخرج کسر باید مخالف صفر باشد. مثال2: با توجه به تساوی های زیر ثابت می کنیم 1-=1می باشد.. اشکال کار در کجاست؟
حل: اشکال کار در عمل تقسیم می باشد. می دانیم برای انجام عمل تقسیم مخرج کسر باید مخالف صفر باشد. اما چون a و b قرینه هم هستند، پس a+b برابر صفر است و تقسیم بر صفر مبهم و نامشخص است.
|
یک کسر مبهم و نامشخص است.
þ تست1 : 
در صورتی که بدانیم 
آنگاه حاصل 
چند است؟
|
د) 5 |
ج) صفر |
ب) |
الف) |
þ تست2 :
عمل * را به صورت a*b=a۲-۲b تعریف می کنیم. حاصل عبارت 2*(3-)کدام است؟
|
د) 6 |
ج) 5 |
ب) 13- |
الف) 12- |
þ تست3 :
ساده شده عبارت
کدام است؟
|
د) صفر |
ج) 4x- |
ب) 4x |
الف) 2 |
þ تست4 :
اگر مقدار عددی عبارت x۳+xy به ازای 2-=x برابر صفر باشد، آنگاه مقدار y برابر است با:
|
د) 3- |
ج) 4+ |
ب) 4- |
الف) صفر |
þ تست5 :
حاصل 
کدام است؟
|
د) 1 |
ج) |
ب) 2 |
الف) |
þ تست6 :
در صورتیکه قطر یک مربع (a+b) باشد، آنگاه مساحت این مربع برابر است با:
|
د) |
ج) |
ب) |
الف) |
þ تست7 :
عبارت n۲-n+۱۱ به ازای هر یک از عددهای طبیعی داده شده در زیر تبدیل به عددی اول خواهد شد، به غیر از یکی از آن ها ، آن یکی کدام است؟
|
د) 3 |
ج) 5 |
ب) 7 |
الف) 11 |
þ تست8 :
مساحت مربعی به ضلع a برابر مساحت دایره ای به شعاع r می باشد.. نسبت 
کدام است؟
|
د) |
ج) |
ب) |
الف) |
þ تست9 :
حاصل عبارت 
برابر است با:
|
د) y+۱ |
ج) y+x |
ب) y |
الف) xy |
þ تست10 :
حاصل ضرب (1001)(999) برابر است با:
|
د) 4-106 |
ج) 1-106 |
ب) 1+106 |
الف) 106 |
معادله equation معادله به معنی برابر کردن ،مساوی کردن ، هم وزن کردن دو چیز و هم وزنی می باشد و در ریاضی تساوی دو عبارت جبری که به ازای مقادیر معین صحیح میباشد را معادله گویند . هر تساوی به صورت 13=5+a یا 20=4x را یک معادله می نامیم که اولی به ازای عدد 8 و دومی به ازای عدد 5 صحیح است .
مثال: چند موز لازم است تا کفه های ترازو هم وزن شوند.
حل: 6 موز
روش حل معادله
منظور از حل معادله پیدا کردن عددی است که اگر به جای مجهول قرار بدهیم ، تساوی بر قرار شود . برای مشخص کردن جوابهای معادله اول باید هر چه عبارت مجهول داریم ، ببریم یک طرف تساوی و هر چه عدد معلوم داریم ، ببریم طرف دیگر تساوی و ساده کنیم تا معادله حل شود . این هم خیلی مهم است که بدانید که اگر جمله ای از یک طرف تساوی به طرف دیگر تساوی منتقل شود ، علامتش عوض می شود.
مثال1: 
حل :
مثال2: 
حل:
مثال3: 
حل: می دانیم دو طرف یک تساوی را می توان در عددی غیر از صفر ضرب کرد طرفین تساوی را در مخرج مشترک کسرها ضرب می کنیم تا مخرج کسرها از بین برود سپس معادله ی بدست آمده را حل می کنیم .
مثال4: 
ابتدا دو طرف معادله را در مخرج مشترک کسرها ضرب می کنیم ، سپس معادله را حل می کنیم .
مثال5: 
حل: برای حل این معادله ابتدا آنرا به صورت 
می نویسیم و سپس از خاصیت طرفین وسطین کمک می گیریم.
|
1. به دو طرف معادله می توان مقادیری اضافه یا کم کرد. 2. دو طرف یک معادله را می توان در عددی غیر صفر ضرب کرد. 3. دو طرف یک معادله را می توان بر عددی غیر صفر تقسیم کرد. 4. در هر معادله می توان جمله های مساوی را از دو طرف معادله حذف کرد. 5. در هر معادله می توان جمله ای را با تغییر دادن علامت آن به طرف دیگر معادله انتقال داد. 6. هر گاه معادله ای به شکل کسری باشد ، برای از بین بردن مخرج کسرها ،دو طرف معادله را در کوچکترین مضرب مشترک مخرج ها ضرب می کنیم . 7. هر گاه معادله ای به شکل تواندار باشد (معادله ی توانی )، معمولأ باید با استفاده از تجزیه پایه های اعداد تواندار را در دو طرف معادله ، یکسان کنیم. مثال:معادله ی توانی مقابل را حل کنید. 33x=۸۱ حل: 8. هر گاه معادله ای به شکل A × D = B × C مثال:معادله ی زیر را حل کنید. حل: 9.هر گاه در معادله ای مقدار یک کسر مساوی صفر باشد ، آنگاه برای حل معادله صورت آن کسر را مساوی صفر می نویسیم . مثال: معادله ی زیر را حل کنید.
حل:مخرج کسر یک عدد مثبت می باشد و برای اینکه حاصل این کسر برابر صفر شود کافی است صورت آن صفر باشد . یعنی: 10. به معادلاتی که در آن ها علاوه بریک مجهول ، متغییر دیگری هم باشد، معادلات پارامتری گفته می شود. جواب این معادلات بستگی به مقدار پارامتر دارد. مثال: معادله ی زیر را بر حسب مقدار m حل کنید . 2x - 4m = 3 حل:
11. هر گاه معادله ای به صورت A + B = 0 باشد ،آنگاه حاصل جمع دو عبارت وقتی صفر است که یا هر دو عبارت صفر باشند یا قرینه ی یکدیگر شوند. مثال: معادله ی مقابل را حل کنید. حل:حاصل جمع دو عدد مثبت صفر شده است ، بنابراین هر کدام از آن ها صفر است.
|
þ تست1 :
محیط مثلث ABC برابر 35cm است . طول ضلع AC کدام است؟
|
ب) 12 |
الف) 7 |
|
د) 16 |
ج) 14 |
þ تست2 :
در معادله 
مقدار x برابر است با:
|
|
ج) 12 |
ب) 10 |
الف) |
þ تست3 :
جواب معادله x + ۲) (x - ۲) - x۲ = ۲x ) کدام یک از گزینه ها ی زیر است؟
|
د) 1-2 |
ج) 2-2 |
ب) 2 |
الف) صفر |
þ تست4 :
در معادله ی مقابل مقدار x کدام است؟ 6x + ۶x+۱ = ۲x + ۲x+۱ + ۲x+۲
|
د) 3-2 |
ج) 2-2 |
ب) صفر |
الف) 1- |
þ تست5 :
در یک عدد دو رقمی اگر ترتیب ارقام را بر عکس کرده با عدد اولیه جمع کنیم ، حاصل جمع برابر 132 می شود . مجموع یکان و دهگان این عدد کدام است؟
|
د) 8 |
ج) 14 |
ب) 10 |
الف) 12 |
þ تست6 :
اگر 
باشد، آنگاه نسبت 
کدام است؟
|
د) صفر |
ج)2-2 |
ب)1-2 |
الف) 2 |
þ تست7 :
اگر x و y دو عدد طبیعی باشند و داشته باشیم: 3xy=۱۴۴ و 5x۲ = ۸۰ آنگاه مقدار y کدام است؟
|
د) 12 |
ج) 11 |
ب) 10 |
الف) 9 |
þ تست8 :
اگر ab =۱۰ و bc = ۶ و ac = ۱۵ باشد، مقدار abc کدام است؟
|
د) 25 |
ج) 49 |
ب) 30 |
الف) 36 |
þ تست9 :
|
باشد ، مقدار a -b برابر است با: |
 |
می دانیم 256 = 44 ، اگر |
|
د) 7 |
ج) 6 |
ب) 5 |
الف) 4 |
þ تست10 :
سارا می خواهد برای دوستانش مداد هدیه بخرد . اگر مداد 150 تومانی بخرد 200 تومان زیاد می آورد . اگر مداد 175 تومانی بخرد 100 تومان کم می آورد . دوستانش چند نفر ند؟
|
د) 12 |
ج) 13 |
ب) 14 |
الف) 15 |
فيثاغورث 
کاربرد ریاضی در زندگی